La donne du Solitaire en chiffres : As, Rois, cartes cachées et premiers coups
Au Solitaire Klondike, une donne sur deux (55 %) ne montre aucun As parmi les 7 cartes retournées, mais seulement une sur quarante-cinq (2,2 %) cache ses quatre As sous les colonnes. Un As caché est recouvert en moyenne de 2,7 cartes, et dans 4 donnes sur 10 au moins un As se trouve sous 4 cartes ou plus. Ces chiffres ne sont pas des impressions de joueur : ils sont calculés exactement à partir de la disposition de départ, ou mesurés sur un million de donnes tirées au hasard quand le calcul exact serait trop lourd. Ils permettent de savoir ce qu'une distribution a d'ordinaire ou d'exceptionnel, et surtout de comprendre où se joue vraiment la partie.
D'où viennent ces chiffres
La disposition du Klondike est toujours la même. Sept colonnes reçoivent 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 cartes, soit 28 cartes ; seule la dernière carte de chaque colonne est retournée. Il y a donc 7 cartes visibles et 21 cartes face cachée sur le tableau, et les 24 cartes restantes forment le talon. Sur ce site, on pioche une carte à la fois et on peut repasser le talon autant de fois qu'on veut.
Quand le paquet est bien mélangé, chacune des 52 cartes a autant de chances d'occuper n'importe laquelle des 52 places. L'ordre dans lequel on distribue (colonne par colonne ou rangée par rangée) ne change donc rien : seul compte le nombre de places de chaque sorte. Les probabilités sur les As et les Rois sont obtenues par dénombrement exact (on compte les répartitions favorables et on divise par le nombre total de répartitions). Celles qui dépendent des cartes visibles entre elles, comme le nombre de coups jouables au départ, viennent d'une simulation d'un million de donnes. Enfin, la dernière partie s'appuie sur un programme qui a cherché la solution de 1 000 donnes tirées au hasard. Les pourcentages sont arrondis, mais aucun n'est estimé à vue d'œil.
En pioche par 1, le talon est un réservoir ouvert
Avant de compter les As, il faut comprendre une propriété du talon qui change la lecture de toute la donne. Quand on pioche une carte à la fois, l'ordre des cartes du talon ne change jamais : on en retire certaines pour les jouer, on ne déplace jamais les autres. Et comme les passages sont illimités, il suffit de faire défiler le talon pour amener n'importe laquelle de ses cartes sur la défausse. Autrement dit, les 24 cartes du talon sont toutes disponibles à tout moment ; elles coûtent seulement quelques clics.
Les 21 cartes face cachée du tableau sont dans une situation complètement différente. Pour en retourner une, il faut d'abord déplacer toutes les cartes posées dessus, et ces cartes doivent trouver une place, sur une autre colonne ou sur une fondation. C'est là que la partie se gagne ou se perd. Un As au talon est une bonne nouvelle presque gratuite ; un As au fond d'une colonne est un chantier.
Au départ, le talon contient en moyenne 7,1 cartes jouables immédiatement (un As, ou une carte qui se pose sur l'une des 7 cartes visibles, chacune comptée isolément). Sur le million de donnes simulées, pas une seule n'était totalement bloquée au départ, talon compris : il y avait toujours au moins une carte à jouer. La vraie question n'est donc jamais « puis-je jouer ? », mais « puis-je retourner des cartes cachées ? ».
Où tombent les quatre As
Les 52 places se répartissent en 7 visibles, 21 cachées et 24 au talon. En moyenne, une donne a donc 0,54 As visible, 1,62 As caché et 1,85 As au talon. Le détail est plus parlant que la moyenne.
| Nombre d'As | Parmi les 7 cartes visibles | Parmi les 21 cartes cachées | Au talon (24 cartes) |
|---|---|---|---|
| 0 | 55,0 % | 11,6 % | 7,6 % |
| 1 | 36,7 % | 34,9 % | 29,0 % |
| 2 | 7,7 % | 36,1 % | 38,5 % |
| 3 | 0,6 % | 15,2 % | 20,9 % |
| 4 | 0,01 % | 2,2 % | 3,9 % |
Trois enseignements ressortent de ce tableau.
- Ne voir aucun As au départ est la situation normale : c'est le cas d'une donne sur deux. Deux As visibles n'arrivent qu'une fois sur treize environ, trois As visibles une fois sur cent soixante-dix.
- Presque toutes les donnes ont au moins un As caché (88,4 %), et plus d'une sur deux en a au moins deux (53,5 %). Creuser pour aller chercher un As fait partie de presque toutes les parties.
- Les quatre As cachés sont rares : 2,2 % des donnes, environ une sur quarante-cinq. C'est le seul cas où aucun As n'est accessible sans creuser, puisqu'un As qui n'est pas caché est soit visible, soit au talon.
Si tu fais défiler le talon une première fois sans voir d'As, ne conclus pas que la donne est piégée : 7,6 % des donnes n'ont aucun As au talon, soit environ une sur treize. Les As sont alors forcément sur le tableau, et tu sais exactement où chercher : sous les cartes retournées.
Sous combien de cartes les As sont-ils enterrés ?
Toutes les places cachées ne se valent pas. Dans la colonne de 2 cartes, la carte cachée n'a qu'une carte posée dessus ; dans la colonne de 7 cartes, la carte du fond en a six. En comptant toutes les colonnes, les 21 places cachées se répartissent ainsi : 6 places sous 1 carte, 5 sous 2 cartes, 4 sous 3, 3 sous 4, 2 sous 5 et une seule sous 6. Une carte cachée est donc recouverte, en moyenne, de 2,7 cartes.
Pour un As, ce qui compte est l'As le plus difficile à atteindre. Le tableau suivant donne, pour chaque profondeur, la proportion de donnes dont l'As le plus enfoui est recouvert d'exactement ce nombre de cartes.
| Cartes posées sur l'As le plus enfoui | Part des donnes | Cumul |
|---|---|---|
| Aucun As caché | 11,6 % | 11,6 % |
| 1 carte | 12,8 % | 24,4 % |
| 2 cartes | 16,9 % | 41,3 % |
| 3 cartes | 18,9 % | 60,3 % |
| 4 cartes | 18,0 % | 78,3 % |
| 5 cartes | 14,0 % | 92,3 % |
| 6 cartes (fond de la 7e colonne) | 7,7 % | 100 % |
Dans 39,7 % des donnes, au moins un As est recouvert de 4 cartes ou plus, ce qui veut dire qu'il dort dans l'une des trois colonnes les plus longues. Et une fois sur treize (7,7 %), un As occupe la pire place du tableau, tout au fond de la colonne de 7 cartes. Ce dernier chiffre vaut 4 chances sur 52, puisque n'importe laquelle des 52 cartes peut tomber à cet endroit.
La conséquence pratique est simple : les colonnes longues concentrent les cartes difficiles. Les trois colonnes les plus longues (5, 6 et 7 cartes) contiennent à elles seules 15 des 21 cartes cachées, soit plus des deux tiers. Ouvrir ces colonnes tôt, quand c'est possible, revient à aller chercher l'information là où elle est.
Les Rois : la même loi, une autre gêne
Les Rois se répartissent exactement comme les As, puisqu'ils sont eux aussi quatre : un Roi visible ou plus dans 45 % des donnes, au moins un Roi caché dans 88,4 %, au moins deux dans 53,5 %. Mais un Roi caché ne pose pas le même problème qu'un As caché.
Un Roi ne peut aller que sur une colonne vide. Tant qu'il n'y en a pas, un Roi qui apparaît au milieu d'une colonne bloque tout ce qui se trouve dessous. En revanche, un Roi tombé tout en bas d'une colonne est idéal : il est déjà à la place qu'on lui aurait donnée, et on peut construire dessus sans jamais le déplacer. Parmi les 21 places cachées, 6 sont des fonds de colonne. Un Roi caché a donc un peu plus d'une chance sur quatre (6 sur 21) d'être à cette bonne place, et près de trois chances sur quatre de se retrouver au milieu d'une pile.
Et un Roi visible au départ ? Il coiffe une colonne dont les cartes cachées resteront bloquées jusqu'à ce qu'une colonne se vide, ce qui inquiète beaucoup de joueurs. Mais il a un avantage : tu sais où il est, et tu peux préparer sa place dès le début au lieu de le découvrir par surprise au milieu d'une pile. Dans la première colonne, qui n'a qu'une carte, il est même déjà au fond. La partie suivante montre que, sur l'ensemble des donnes, le nombre de Rois visibles au départ ne change presque rien aux chances de gagner.
Les premiers coups : combien de mouvements au départ ?
Avant même de toucher au talon, combien de coups le tableau offre-t-il ? On compte ici les As visibles (ils montent en fondation) et les cartes visibles qui peuvent se poser sur une autre carte visible (rang juste inférieur, couleur opposée). Ce nombre dépend de la combinaison des 7 cartes, d'où le recours à la simulation sur un million de donnes.
| Coups jouables | Part des donnes |
|---|---|
| Aucun | 8,8 % |
| 1 | 27,2 % |
| 2 | 35,1 % |
| 3 | 21,4 % |
| 4 | 6,3 % |
| 5 ou plus | 1,2 % |
Le cas le plus courant est celui de deux coups disponibles d'emblée, et presque une donne sur onze n'en offre aucun : il faut alors commencer par le talon. Ce n'est pas un drame. Comme on l'a vu, le talon fournit en moyenne sept cartes jouables dès le départ : il y a de quoi lancer la partie, même quand le tableau est muet.
Un détail mérite l'attention : deux cartes visibles peuvent parfois se disputer la même carte d'accueil. Un 7 de cœur et un 7 de carreau visibles en même temps ne trouvent qu'un seul 8 noir s'il n'y en a qu'un sur la table. Avant de jouer le premier coup venu, regarde lequel des deux découvre une carte cachée dans la colonne la plus longue : à coup égal, c'est celui-là qui rapporte le plus d'information.
Ce que la donne de départ dit vraiment des chances de gagner
Reste la question que tout le monde se pose devant une donne : ces chiffres permettent-ils de deviner si elle est bonne ou mauvaise ? Pour le savoir, nous avons confié 1 000 donnes tirées au hasard à un programme de résolution qui connaît la place de toutes les cartes, y compris les cartes cachées, et qui applique les règles de ce site (pioche par 1, passages illimités, retour d'une carte de fondation vers une colonne autorisé). Pour chaque donne, il a soit trouvé une suite de coups gagnante, soit prouvé qu'il n'en existe aucune, soit abandonné après avoir examiné 3 millions de positions sans conclure.
Sur les 1 000 donnes, le programme a trouvé une solution pour 817, prouvé que 52 n'en ont aucune, et n'a pas conclu pour les 131 autres. Ces donnes non tranchées mélangent sans doute des donnes gagnables mais longues à résoudre et des donnes impossibles longues à prouver : les 81,7 % de solutions trouvées sont donc un minimum, pas le taux réel de donnes gagnables. Par prudence, 24 des donnes déclarées impossibles ont été soumises à un second programme, écrit différemment : il ne leur a trouvé aucune solution. Le tableau ci-dessous ne cherche pas à mesurer un taux absolu, mais à comparer les situations entre elles, avec le même programme et le même effort de recherche pour toutes.
| Situation au départ | Donnes | Solution trouvée |
|---|---|---|
| Toutes les donnes | 1 000 | 81,7 % |
| Aucun As caché | 120 | 83,3 % |
| 3 ou 4 As cachés | 192 | 81,8 % |
| As le plus enfoui sous 1 ou 2 cartes | 269 | 85,5 % |
| As le plus enfoui sous 5 ou 6 cartes | 241 | 78,0 % |
| Aucun Roi visible | 528 | 81,8 % |
| Au moins un Roi visible | 472 | 81,6 % |
| 0 ou 1 coup jouable sur le tableau | 369 | 78,0 % |
| 3 coups jouables ou plus | 293 | 86,7 % |
Le résultat surprend souvent : ce qui se voit au départ change très peu de choses. Une donne qui cache trois ou quatre As s'en sort aussi bien qu'une donne qui n'en cache aucun (81,8 % contre 83,3 %, un écart plus petit que l'incertitude d'un échantillon de cette taille). Les Rois visibles ne font aucune différence mesurable. Deux repères seulement déplacent l'aiguille de façon nette : un As enterré tout au fond d'une longue colonne coûte environ 7 points par rapport à un As peu recouvert, et un départ riche en coups (3 ou plus) gagne près de 9 points sur un départ qui n'en offre qu'un ou aucun. Même dans les situations les moins favorables du tableau, le programme trouve encore une solution à plus de trois donnes sur quatre.
L'explication tient dans les proportions de la donne : les 7 cartes visibles ne disent presque rien des 21 cartes cachées ni de l'ordre du talon, et c'est de ces 45 cartes que dépend la suite. Un As enterré n'est grave que si les cartes posées dessus ne trouvent pas de place, ce que personne ne peut voir avant de les avoir retournées.
C'est la confirmation, chiffrée, de ce que notre guide sur les parties gagnables explique : on ne peut pas juger une donne sur ses 7 premières cartes, parce que 45 cartes restent à découvrir. Et sur ce site, la question ne se pose de toute façon pas dans les modes où elle compterait le plus : les donnes du défi du jour et du multijoueur, comme celles du solo par défaut, sont tirées parmi des donnes dont on a déjà vérifié qu'elles ont une solution.
Ce qu'il faut retenir à la table
Ces probabilités ne remplacent pas la réflexion coup par coup, mais elles donnent quelques repères solides.
- Le talon n'est pas l'ennemi. En pioche par 1, toutes ses cartes restent accessibles. Ce qui est rare et précieux, ce sont les cartes cachées du tableau.
- Les deux tiers des cartes cachées sont dans les trois colonnes les plus longues. C'est là que dorment, statistiquement, les As les plus enfouis et les Rois mal placés.
- Un départ sans As visible est normal (une donne sur deux), et un premier passage du talon sans As n'a rien d'alarmant (une donne sur treize).
- Un Roi visible ne condamne rien : sur 1 000 donnes, il n'a fait aucune différence mesurable. Le Roi qui gêne vraiment est celui qu'on découvre au milieu d'une colonne, et celui-là ne se voit pas au départ.
- Ne juge pas une donne sur ses 7 premières cartes : même les départs les moins favorables restent gagnables dans plus de trois cas sur quatre.
- Le premier coup se choisit : à intérêt égal, préfère celui qui retourne une carte dans une colonne longue.
Pour passer de ces repères à une méthode complète (ordre des coups, colonnes vides, moment où piocher), le guide de stratégie du Solitaire reprend chaque décision en détail. Et si tu veux suivre la trace des As et des Rois pendant la partie, l'article sur le comptage des cartes au Solitaire montre comment retenir ce que tu as déjà vu passer. Le plus simple reste de vérifier ces chiffres toi-même : lance une partie de Solitaire et compte les As que tu vois au départ.
